oyunyapimi.org

Hiç lafı uzatmayacağım, öyle giriş gelişme sonuç pek yapabileceğim bir iş değil. Ayrıca bu bir hikaye de değil neticede bir şeyler öğrenmeye çalışıyoruz. Hemen örneklerle bakalım olaya. Çünkü açıkçası ne anlatacam ben de bilmiyom ölesine bi yazıyom bakalım yazı nereye kadar gidecek.Fakat herkesin ilk önce kabul etmesi gereken tek konu şu:

“İlkokul matematiği bitti...”

Neyse dediğim gibi fazla uzatmayacam. Kalkıp matrix, vector anlatacak değilim burada. Bi şekil öğrenilir onlar. Fakat çok daha önemli konular var ki gözden kaçan (yani benim insanlarda gözlediğim), olayın temelini kavrayış biraz farklı. Neyse hop...

Başladık:

(-x)|------------------------0--->--------------------|(+x)

Bunun adına 1D uzay(space) diyeceğiz. Bütün 1D uzayları bu şekilde göstereceğim. Öncelikle bu çizdiğim şekli anlatiim. Bir merkez(origin) var ve bi vektor(basis) var ve bu vector ‘>’ ile gosterilmiş. Yani bir uzayı belirtmek için aslında o uzayın referans noktası (merkez, origin) ve o uzayı geren basis’ler (vektor, bilmiyom turkçesini basis’in) yeterlidir. Örneğin yukarıda ki örneğin parametreleri şunlar:

(-x)|------------------------0--->--------------------|(+x)
origin   : [0]
basis   : [1]

Bu tek boyutlu bir uzay olduğu için, bir adet basis vectörümüz var. Eğer birden çok boyutlu bir uzay için konuşuyo olsaydık; ki bunu da yapacağız; o zaman birden çok basis ile uğraşacaktık. Her boyut için bir basis gerekiyor. Basis kavramına bir nevi : “birim uzunluk o uzayda nasıl tanımlanmış. Yani ben o uzayda bir birim ilerlersem aslında koordinat sisteminde ne kadar ilerlemiş olurum”. Eğer basis vektörüm [-1] ise örneğin ben bir birim ilerlersem (+1 birimden bahsediyorum) aslında geriye doğru bir birim gitmiş olurum. Eğer basis vektörüm [+3] ise ben bir birim ilerlediğimde +3 birim ileri gitmiş olurum. Bilmiyom azıcık anlaşıldı mı? Daha üstüne duracam sonra.

Şimdi bir başka uzay tanımına bakalım.

(-x)|----------------------------------------4------->|(+x)
origin   : [4]
basis    : [2]

Gördüğümüz gibi bunu tanımlamak sadece bize ait. Yani bu uzayı istediğimiz gibi ifade edebiliriz.

Şimdi diyelim ‘rufus’ ve ‘pedro’ isimlerinde iki insan var, ve birbirlerine sayılar söylüyorlar. Fakat beyinlerinde kullandıkları ‘uzay’ kavramları farklı. Yani aslında aynı uzayı ifade etme biçimleri farklı. Rufus’un dunyasında uzay bizim birinci şekilde ifade ettiğimiz gibi ifade ediliyor. Pedronun ise ikinci şekildeki gibi. Acaba rufus pedro’ya “2” derse, pedro buradan ne anlar. Aslında yanlış şeyler anlar. Çünkü “2” onun dunyasında tamamen başka bi noktaya tekabül ediyor.(yuh şu fiil’i de kullandım ya şu tutor’da.. eh yani) yani rufus ile pedro arasında bir uzaydan öbür uzaya geçiş lazım.

Pedro, rufus’un dediklerini ancak ve ancak, rufus’un uzayının tanımını bildikten sonra anlayabilir. Aynı şey tersi için de geçerli. Yani pedro rufus’a bir şey derse onun anlamasi için, rufus’un pedro’nun uzayını bilmesi lazım.

Şimdi basit bir örnek yapalım. Diyelim rufus’un dunyasi bizim birinci uzayımız olsun ve pedro’nun dunyası da ikinci uzayımız olsun. Pedro ‘x’ dediğinde rufus ne anlamalı?

Öncelikle bu iki uzayı bizim temel aldığımız bi uzayda ifade etmeliyiz ki bu da bizim bildiğimiz :

(-x)|------------------------0--->--------------------|(+x)
origin   : [0]
basis   : [1]

Uzayı. Bütün evren 1 boyutlu uzaylar için bunu kullanıyor standart olarak. Biz de bunu kullanacağız.

O zaman rufus’un uzayı bu ‘standart uzay’a göre:

RUFUS:
(-x)|------------------------0--->--------------------|(+x)
origin   : [0]
basis   : [1]

Yani gene aynısı. Pedronun ki ise gene:

PEDRO:
(-x)|----------------------------------------4------->|(+x)
origin   : [4]
basis   : [2]

Öncelikle bu işlemleri matrix ve vector aritmetiği kullanmadan yapmaya çalışalım ve buradan kendimiz bir şeyler çıkaralım.

Pedro kendi uzayında rufus’a xpedro derse eğer, aslında standart uzayda şoole bir yer göstermiş oluyor:

[4+(xpedro)*2]

Bu standart kabul ettiğimiz uzaydaki yansıması. Peki bu rufus’un dunyasında neye karşılık geliyor:

[0+(xrufus)*1] = [4+(xpedro)*2]
xrufus = ([4+(xpedro)*2] – 0) / 1

Peki şimdi de tersini yapalım. Rufus kendi uzayında pedro’ya xrufus derse pedro ne anlayacak. Önce standart uzaydaki demek istediğine bakalım.

[0+(xrufus)*1]

demek istiyor. (Aslında kendi uzayı ile standart uzay aynı)

ve pedronun bundan anlıyacağı.

[4+(xpedro)*2] = [0+(xrufus)*1]
xpedro = ([0+(xrufus)*1] – 4) / 2

tamam. Güzel bir şeyler çıkmaya başlıyor. Durmak yok devam.

Şimdi herkes kendi uzayını bildiği için kendi uzayının bütün parametrelerini biliyor. Ancak bir başkasının uzayından bir bilgi geldiğinde onu anlaması için o uzayın parametrelerine ihtiyacı vardır. Bu sadece bu uzay, matrix ve vector sistemlerinde değil dünyadaki hemen hemen bütün olaylarda geçerlidir. Sen bir sistemin içinde bulunursun. Başka bir sistemden sana bir input gelir. O input o sistemin doğasında geldiyse (yani senin sisteminde anlayacağın bir forma dönüştürülmediyse), senin o sisteme ait parametreleri bilmen lazım ki bunu dönüştürebilesin.
Özetle rufus’un, pedronun uzayının parametrelerine yani

origin   : [4]
basis   : [2]

ve pedronun da rufus’un uzayının parametrelerine

origin   : [0]
basis   : [1]

ihtiyaci var. Bunları bilmeden hiç birisi öbürünün dediğini anlayamaz. Umarım buraya kadar biraz bişiler yerleştirmişimdir, çünkü biraz compleksleşecek galiba.

Şimdi bu yaptığımız her şeyi matrixlere dökelim. Bir uzayı ifade etmek için genelde <uzay boyutu> + 1 boyutlu kare bir homojen matrix kullanılır. Homojen matrix’i çok basit şekilde açıklamak gerekirse, son satırı (veya sütunu) (n-1) adet [0] dan ve (n x n)’i elemanı [1] den oluşan matrix’e deniyor. Örnek vermek gerekirse.

[a b c d]
[e f g h]
[i j k l]
[0 0 0 1] (satır (row))

veya

[a e i 0]
[b f j 0]
[c g k 0]
[d h l 1] (sütun (column))

yapısındadır. Bununla ilgili gerek özellik veya optimizasyonları bu dökümanda bulamayacaksınız. Üzgünüm. Hedef başka çünkü.

Neyse şimdi bizim uzayımız için uzay matrix’imizi yaratalım. Genel yapı şu şekildedir. Bundan sonraki bütün space matrix’lerimizi 2. şekildeki (sütun(column)) yapısında gösterecem. DirectX bu yapıda kullandığı için bunu seçiyorum. Ancak bir uyarı olarak söyliim OpenGL 1. şekli kullanyor. OpenGL ile ilgilenenlere şimdiden bir detay...

Bizim basislerimiz b1, b2, b3, b4..., bn-1, bn olsun. ve originimiz o olsun. Buna göre bizim space matrix definitionımız şu şekilde define edilmiştir:

[b1 b2 b3 . . . bn 0]
[b1 b2 b3 . . . bn 0]
[b1 b2 b3 . . . bn 0]
[. . . . . . . .]
[. . . . . . . .]
[. . . . . . . .]
[b1 b2 b3 . . . bn 0]
[o o o . . . o 1]

Bilmiyom anlatabildim mi? Basislerimizi yukarıdan aşağı sütun halinde yazıyoruz. Ve originimizi tam en alt satıra yazıyoruz. Şimdi bakalım böyle bir tanım bizim işimizi kolaylaştıracak mı?

Hatırlatmak amacı ile rufus ve pedro’nun uzay parametrelerini bir daha yazıyorum:

pedro:
origin   : [4]
basis   : [2]

rufus:
origin   : [0]
basis   : [1]

Şimdi bunların uzay matrix’leri nedir o zaman:

pedro:
(-x)|----------------------------------------4------->|(+x)
[2 0]
[4 1]

rufus:
(-x)|------------------------0--->--------------------|(+x)
[1 0]
[0 1]

di mi ?
Güzel. Şimdi yaptığımız örnekleri tekrar yapalım.

xpedro dediğinde pedro, eğer rufus pedronun uzay matrix’ini biliyorsa, kolayca bu değişimi yapabilir. Öncelikle unutmamak gereken bir şey bu matrix’lerin hepsinin belli bir varolan uzay referans alınarak yapılması lazım. (ki neticede standard uzayı kabul ederek yazdık ikisini de. Hoş rufus zaten standard uzayı kullanıyor. Hali ile de görüldüğü gibi birim matrix oluştu onun matrix’ini oluşturduğumuzda)

Şimdi buna bir kaç değer vererek deneyelim. Diyelim pedro xpedro = [-1] dedi. Bu rufus’un uzayında kaça denk geliyor. Amacımız bu soruya cevap aramak. Tek yapacağımız şey pedronun verdiği vector’u (evet vector. 1x1 lik bi vector) bizim matrix’le çarpmak. Ama bakıyoruz ki elimizde ki matrix 2x2.. hmmm. Çarpılmıyorlar, demek ki ne yapmak lazım. Verdiği noktayı 1x2 yapmak lazım. Bunu da noktanın sonuna 1 ekleyerek yapabiliriz. (neden 1, neden 0 değil, neden PI değil veya neden e değil bunun tartışması şu an değil. Şu an bilmemiz gereken tek bir şey var. O da oraya ‘1’ yazmak. Bunu elimize bir (dikkat!) ‘nokta’ geldiğinde yapıyoruz. Daha fazla detaylı bilgi sonra. Kafa karıştırabilir.)

evet pedro xpedro = [-1] dedi. biz bunu :

[-1 1]

yaptık. Şimdi bakalım çarpınca neler olup bitiyor.

[-1 1][2 0] = [-1 * 2 + 1 * 4   -1 * 0 + 1 * 1] = [2 1]
      [4 1]

Elde ettiğimiz nokta [2 1] noktası, ne demek bu? Hah şu demek. Yani başta sonuna ‘1’ eklemiştik ya. Gene onu bulduk. (zaten ööle çıkması gerekiyor). Hah işte onu attık mı elimizde ne kaldı ? [2]. İşte rufus’un anladığı nokta bu. Bakalım diagrama doğru mu ?

pedro:
(-x)|--------------------------------*-------4------->|(+x)
(-1 birim ilerle)                    <-------- (-1)
                                     |
rufus:                               | bu noktaya geliyor.
(-x)|------------------------0--->---*----------------|(+x)
                              --->---> (2 birim)

demek ki rufus’un uzayinda yansiyan nokta [2] olmush oluyor. yani cozumumuz dogru. peki ayni sheyi rufus’un achisindan yapsaydik ne yapacaktik. hemen ona bakalim. yani rufus [2] dese pedro [-1] anlarmiydi. sadece rufus’un matrix’ini bilerek. yaptigimiz ishlemi gene yapalim.

[2 1][1 0] = [2 * 1 + 1 * 0   2 * 0 + 1 * 1] = [2 1]
     [0 1]

Eee.. aynı nokta çıktı. Ee. Hani sadece onun matrix’ini bilmesi ile oluyordu.? Evet yanlış. Bu değil. Beklediğimiz cevap [-1 1] olmalıydı. (Yani bizim elimizde [-1 1] noktası olmalı. Hmm bir gariplik olmalı.? Hayır yok. Çünkü yaptığımız olay çok saçma. İşte burada bir kurala gireceğim. Bunu uyduracağız.

Öncelikle ANA UZAY(parent-space) / ALT UZAY(sub-space) kavramını açıklayalım. Eğer bir uzay bir başka uzay içinde tanımlanmış ise ona ANA UZAY onun altında tanımlanan uzaya’da ALT UZAY denir. Örneğin bizim bu durumumuzda aslında rufus’un uzayı bizim STANDARD kabul ettiğimiz uzay. Yani dünyada herkesin kullandığı uzay (basis:1, origin:0). Fakat pedronun ki öyle değil. İşte onun dünyasında identity olan şey (basis:2, origin:4) fakat bu bizim görüşümüz. Yani onun merkezini anlamak için bile o koordinatları kendi anlayacağımız şekilde ifade ediyoruz. yani aslında pedronun uzayı standart uzayın bi alt kümesi. Yani onun altında ifade ediliyor. Ve bir bakışa göre rufus’un ki de öyle ifade ediliyor. Yani bu ikisinin de uzayı aslında standard kabul edilen uzayın dilinde anlatılıyor.

STANDARD UZAY
|--RUFUS UZAYI
+--PEDRO UZAYI

şeklinde bir hiyerarşi var aslında. (rufus ve standard aynı olmalarına rağmen, ama olmadığı durumu da inceleyeceğimiz için, böyle açıklamayı tercih ediyorum).

Şimdi bizim çalışan formülümüz gördüğümüz gibi PEDRO’dan RUFUS’a olan bir çevirim için’di. (aslında pedro’dan rufus’a değil, pedro’dan STANDARD’a çevirim idi. Ama standard ile rufus aynı olduğu için şu anlık hali ile rufus’un uzayına çevirimi de tamamen aynı). Yani kısacası:

BİR NOKTAYI BIR UZAYDAN, ANA UZAYIN KORDİNATLARINA ÇEVİRMEK İÇİN, VERİLEN NOKTAYI O UZAYIN ANA UZAYDA İFADE EDİLDİĞİ MATRİKS İLE ÇARPIYORUZ.

yani :

xstandart = xpedro * Mpedro(standart)

Bizim en genel formülümüz. (M denen o uzayın matrix’inin ANA uzayı altındaki ifadesi.)

Quick FAQ:
Q: Ya bi dakka, bi dakka kafam iyice karıştı. şu ‘ana uzay’ ‘alt uzay’ kavramları çok garip ve saçma geldi. Biraz daha açıklarmısın ?
A: Tamam o zaman şöyle diyelim:
(-x)|----------------------------------------o------->|(+x)
Uzayımızı gene böyle tanımlayalım. Fakat bu sefer hiç bir sayı kullanmıyoruz. Yani sadece origini’i ve basis’i gösteriyorum. Şimdi bunu bi şekil ifade etmek lazım. Bunu nasıl ifade edecez. ? Yani bunu ifade edecek bi şekil bulmak lazım. Origin’e bişi demek lazım ‘o’ diye bırakamayız di mi? Buna İSTEDİĞİNİ de. Hiç farketmez. Yanlız tek dikkat edeceğin şey, tanımlayacağın bütün UZAYLARI aynı koordinat sistemini göz önüne alarak yap ki çok daha büyük sorunlar çıkmasın. yani
(-x)|------------------------o--->--------------------|(+x)
Elinde şöyle bişi olursa yukarıdakinden bi şekil ayırabil. Yoksa ikisini de tamamen farklı şekillerde yapsaydık olmazdı. Bak ne diyecem ? Hadi şimdi şeklen PEDRO’nun uzayını STANDART kabul edelim. ve ona göre yapalım bakalım ne çıkıyor.

(-x)|----------------------------------------0------->|(+x)
bunu standart alalım.
origin: [0]
basis : [1]

(-x)|------------------------o--->--------------------|(+x)
ee. bu nooluyor şimdi.
ishte cevap:
origin: [-2]
basis : [ ½]

Tamam madem yaptık. Şimdi en son ne diyorduk. Tek beklediğimiz şey rufus [2] dediğinde pedro’nun [-1] anlaması di mi? (değişen ne var...? Hiç bir şey! Sadece base’imizi değiştirdik. Pedro’yu dünya standardı kabul ettik.)
Hemen bakıyoruz gene... Matriksleeeer:

pedro:
[1 0]
[0 1]
rufus:
[ ½ 0]
[-2 1]

Güzel şimdi yani RUFUS’tan standart’a (ve hali ile PEDRO’nun uzayı’na, çünkü standart ile aynı yaptık ya) çevirmeyi biliyoruz. Çünkü rufus onun altında tanımlandı. Hiyerarşi gene aynı:

STANDARD UZAY
|--RUFUS UZAYI
+--PEDRO UZAYI

eee. çarpalım o zaman:

[2 1] [ ½ 0] = [2 * ½ + -2 * 1    2 * 0 + 1 * 1] = [-1 1]
[-2 1]

Sonuç [-1 1], at sondaki ‘1’ i ve elimizde [-1] kalıyor. Gördüğümüz gibi anlamış olduk ki kullandığımız base uzay’ın ne olduğunun hiç bi önemi yok. Yanlız hangi uzayı hangisinin altında tanımladığımıza çok dikkat edelim. Önemli olan tek nokta o.
Q: Peki standard uzayda olan bir noktadan, (birinci örnekdeki) pedro’nun uzayına nasıl çeviririz.
A: Bi saniye canım kardeşim, gelecez ona da.
Q: Tamam.!

End of Quick FAQ(okunuşu : ~fak)

Döndük geri. Güzel soru. Yani şu an bildiğimiz bulunduğumuz yerdeki noktayı, ana uzayımızda nasıl ifade edeceğimiz. Peki bunun tersini nasıl yapardık ? Yani ana uzayda bir noktamız olsa bunu bizim uzayda nasıl ifade ederdik ?

!? !? Yaw ne farkeder şu işleme bakalım.

y = x * Mx(y)

dedik di mi ?
Eee güzel, işte Mx(y)’yi biliyoz. x’i yerine koyunca y’yi kolayca bulabiliyoruz (EĞER Kİ EĞER oradaki Mx(y), x in uzayının y’nin uzayı dikkate alınıp tanımlandıysa!! tek koşul bu!). tersi mi nasıl olur? Ehh, eğer içinizden ‘ulan niye bu sefer y’nin x’e göre matrix’ini (My(x)) çıkarmıyoruz ki!? sonra formül x = y * My(x) olmaz mı?’ diye bir cümle geçirdiyseniz, hemen kendinize gidin iki çukulata hediye edin, birini yiyip diğerini bana gönderin!. Çünkü evet aslında yapılan şey o.

Peki bunu o an bilinen, daha doğrusu tek bildiğimiz şey olan Mx(y)’den yapabilirmiyiz. ? Yani bu ikisi arasında ne gibi bir bağlantı var:

1) y = x * Mx(y)
2) x = y * My(x)

güzel şimdi 2. eşitlikte y yerine 1. eşitliği yazıyorum. (çünkü aynı x ve y değerlerini sağlamak zorundalar, di mi?)

3) x = (x * Mx(y)) * My(x)
4) x = x * Mx(y) * My(x)   (parantezleri yok ettik)
5) 1 = Mx(y) * My(x)       (x’ler sadeleşti)

Hmm demek ki bu iki matrix’i çarptığımda 1 (identity) elde etmem lazım. Bu ancak ve ancak şu demek. Bu matrixler birbirinin TERSİ olmak zorunda. İşte çok güzel. Bir şey daha bulduk:

Mx(y) = My(x)-1
Mx(y) = M(y)-1

tamam alalım madem.

[b 0] b = basis.
[o 1] o = origin.

[ 1/b 0] * [b 0] = [1 0]
[-o/b 1]   [o 1]   [0 1]

tamam güzel tersi :
[ 1/b 0]
[-o/b 1]
imiş.

Şimdi aynı örneğe dönelim bakalım bu sefer yapabilecekmiyiz:

pedro:
(-x)|----------------------------------------4------->|(+x)
[2 0]
[4 1]

rufus:
(-x)|------------------------0--->--------------------|(+x)
[1 0]
[0 1]

İlk hali buydu,
ve neyin peşinde idik:
rufus’un uzayında [2] ile ifade edilen bakalım pedro’nun uzayında [-1] olacak mı?

[2 0]-1 = [½ 0]
[4 1]    [-2 1]

[2 1] * [0.50 0] = [2 * 0.50 - 1 * 2 1] = [-1 1]
        [ -2 1]

Eevet. Gördüğümüz gibi aynı sonuç çıktı. Deyişimizi biraz değiştirelim:

BİR NOKTAYI BİR UZAYDAN, ANA UZAYIN KOORDİNATLARINA ÇEVİRMEK İÇİN, VERİLEN NOKTAYI O UZAYIN ANA UZAYDA İFADE EDİLDİĞİ MATRIX İLE ÇARPIYORUZ. EĞER ANA UZAYDA TANIMLANAN BİR KOORDİNATTAN BAHSEDİYORSAK, ONU ALT UZAYIN KOORDİNATLARINA ÇEVİRMEK İÇİN O UZAYIN ANA UZAYDA İFADE EDİLDİĞİ MATRIX’İN TERSİ İLE ÇARPIYORUZ.

Güzel iş biraz biraz oturmaya başladı. Çok kompleks bir örnek ele alalım.

ANA_UZAY
   ALT_UZAY_1
       DAHA_ALT_UZAY_1 (x) verilen nokta.
   ALT_UZAY_2
       DAHA_ALT_UZAY_2 (y) hedef uzay.

Eh şimdi önverimiz şu, her bir uzayı kendi ana uzayı altında tanımlayan matrikslerimiz olduğunu düşünelim (ki böyle olmak zorunda aslında. Bunu tartıştık sanıyorsam.) Herbir matriksi kendi isimleri ile anacağım.

Amacımız DAHA_ALT_UZAY_1’de ki x noktasının DAHA_ALT_UZAY_2’deki y’noktasında nasıl gözüktüğünü bulmak.
Öğrendiklerimizi hemen uygulayalım. Üst uzaya çıkmak için aynen çarpıyoz. Alt uzaya inmek için tersi ile çarpıyoduk di mi?
Güzel başlayalım. Aşama aşama yapacam ki daha iyi belli olsun.

(1) x * DAHA_ALT_UZAY_1 (shu an ALT_UZAY_1’deyiz)
(2) (1) * ALT_UZAY_1 (şimdi de ANA_UZAY’dayız)
(3) (2) * ALT_UZAY_2-1 (evet öbür uzaya dallandık)
(4) (3) * DAHA_ALT_UZAY_2-1 (şimdi de vardık.)

yani çok çok genel hali ile.

y = (((x * DAHA_ALT_UZAY_1) * ALT_UZAY_1) * ALT_UZAY_2-1) * DAHA_ALT_UZAY_2-1

yazabiliriz.

yani.
şu sıra ile:
DAHA_ALT_UZAY_1
ALT_UZAY_1
ALT_UZAY_2-1
DAHA_ALT_UZAY_2-1

çarptığımızda elimizde M diye matriks kaldığında:

y = x * M

Bize gene bu koordinat değiştirme işlemini sağlayacak. Eveeet güzel, öğrendik. Hah işte şu an bir şey demenin zamanı geldi. Aklınıza gelen herhangi bir boyutta bu işlemler aynen bu şekilde yürüyor. Burada yazılan herhangi bir şeyi istediğiniz boyutlarda uygulayabilirsiniz. Hatta deneyiniz.

Bundan sonrada geriye ne mi kaliyor, heh çok basit bir sonraki doc hali ile “1D++” olacak. Haydi hoş eğlenceler. Pek bir şey farketmeyecek. Aynı şeyleri yapacağız. Fakat belki biraz daha oturabilir. hop!.

sensei^rt :: 2004 :: www.oyunyapimi.org

[ Geri Dön: Oyun Yapımı (Genel) | Bölümler İndeksi ]